Xm - 1
の因数となる整数係数の（有理数体上の）既約多項式を円分多項式という。
何で「円分」なのかというと、
Xm - 1
の根全体が、複素平面上の単位円を m 等分するからである。
英語では cyclotomic 。
Cyclo = 円、tom = 分割、なので意味は同じである。
時に「円周等分多項式」ともいう。
「k 次円分多項式」といったら、 1 の 原始 k 乗根だけを根に持つような円分多項式のことである。 多項式としての次数が k 次であるわけではない （次数は Euler 関数φを使えば、φ(k) である）。 この k 次円分多項式を Φk(X) で表す。
k 次円分多項式は上でも述べたように 1 の 原始 k 乗根だけを根に持つので、次のように書ける。
Φk(X) = Π(n,k)=1(X-ζn)
ここに ζ = exp(2πi/k) である。
メビウス(Möbius)関数を使うと、
Φk(X) = Πd|k(Xd - 1)μ(k/d)
と表すことができる。
具体的な式の形は次のようになる。
| k | k 次円分多項式 |
|---|---|
| 1 | X - 1 |
| 2 | X + 1 |
| 3 | X2 + X + 1 |
| 4 | X2 + 1 |
| 5 | X4 + X3 + X2 + X + 1 |
| 6 | X2 - X + 1 |
| 7 | X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1 | 8 | X4 + 1 |
これだけ見て係数が {0,±1} だけだと勘違いしてはいけない もっとも、最初に絶対値が 1 より大きい係数が出現するのは k=105 だそうだ （105 = 3 * 5 * 7 だから、相異なる三つ以上の奇素数を素因数に持てばきっと絶対値が 1 より大きい係数が出現するのだろう（いい加減な推測））。